Однако выражение «на чай» происходит вовсе не от напитка чай, а от слова ЧАЙ — жди, ожидай (повелительное наклонение от глагола ЧАЯТЬ — ожидать). «Чаять» значит надеяться, «чаяние» — надежда.

«Чаяти» из несохранившегося ЧАТИ — ожидать, отсюда и «час».
От «чаяти» и «отчаяние» — потеря всякой надежды, «отчаянный человек» — потерявший надежду и действующий напролом. У С. Антонова: «Лариса девка отчаянная… на любую крайность может пойти» (Дело было в Пенькове).

Высушенные листья чайного деревца попали на Русь из Китая в царствование Алексея Михайловича (XVII век), и у нас осталось китайское название cha (ча) — оно дало у нас «чай». А повелительная форма «чай», от глагола «чаять» существовала издавна в русском языке.

До революции ямщики, лакеи в ресторанах всегда ожидали денег сверх установленной или условленной платы. Они надеялись, ЧАЯЛИ подачки, деньги эти были ЧАЕВЫМИ, но трудное слово это скоро превратилось в «чайные деньги», а затем в «чаевые».

В знаменитой книге С. В. Максимова «Крылатые слова» автор писал, что «на чай» необходимо писать слитно — «начай». Во французском языке это давно сделано: «на чай» — pourboire (пурбуар) буквально — для питья, и пишется это слитно.